Funciones, Limites y Derivadas

 Funciones: Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.existen varios tipos de funciones que son: lineal, cuadratica, cubica, inversa y racional.

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s² recorre una distanciad que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente.

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos:

Tiempo t (s)	Distancia d (m)
0,0	0,0
0,5	0,1
1,0	0,3
1,5	0,7
2,0	1,3
2,5	2,0

Limites: es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o unafunción, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Propiedades:

Límite de una constante

Límite de una suma

 

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Indeterminación: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

   En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

 

Algunos de los tipos de indeterminaciones son:

 

1. Infinito partido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero partido por cero

Derivadas: es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer suvelocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

Derivada una función constante

La derivada de una función constante es cero.

Ejemplo

Si   ,   entonces

Derivada de una suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:

Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:

Derivada de una diferencia de funciones

La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:

Ejemplo

Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones,      y    , viene dada por la fórmula:

Ejemplo

Observese que      y que la derivada de      es precisamente   .

 Derivada de un cociente de funciones

La derivada del cociente      viene dada por la fórmula:

Ejemplo